La perversion : se venger pour survivre by Gérard Bonnet PDF

By Gérard Bonnet

ISBN-10: 2130568882

ISBN-13: 9782130568889

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An une n-forme de Pfister, et soit b ∈ D(ϕ ), o` u ϕ est la forme pure associ´ee ` a ϕ. Alors il existe b2 , . . , bn ∈ F ∗ tel que ϕ b1 , . . , bn . D´emonstration. — On proc`ede par r´ecurrence sur n. Si n = 1, on a b = a1 c2 pour un c ∈ F ∗ et l’assertion est ´evidente. Supposons n > 1 et soit τ = a1 , . . , an−1 1 ⊥ −τ , d’o` u ϕ = τ ⊥ an τ. ´ CHAPITRE 2. LA THEORIE DE PFISTER 18 ´ Ecrivons b = x + an y, avec x ∈ D(τ ) ∪ {0}, y ∈ D(τ ) ∪ {0}. On distingue plusieurs cas : 1) Si y = 0, on a x = 0 et b ∈ D(τ ), donc (par r´ecurrence) τ b, b2 , .

4. 4. 1. Th´ eor` eme (cf. [122, prop. 11], [12, Satz 18]). — Soit ϕ une forme quadratique sur F de dimension paire, de corps dominant L et de forme dominante τ . Soit q une autre forme sur F . Alors deg(ϕF (q) ) > deg ϕ si et seulement si qL est semblable ` a une sous-forme de τ . En particulier, en posant n = deg(ϕ), (i) Si dim q > 2n , on a deg(ϕF (q) ) = deg ϕ. (ii) Si dim q = 2n , on a deg(ϕF (q) ) > deg ϕ si et seulement si q est semblable ` a une forme de Pfister τ0 telle que (τ0 )L τ . En particulier, ϕF (q) ∼ 0 ⇒ dim q ≤ 2deg(ϕ) .

D´emonstration a) Si ϕ est isotrope, elle est hyperbolique et le r´esultat est clair. Supposons ϕ aniso´ trope. Ecrivons q a1 , . . , an . Par hypoth`ese, il existe b1 , . . , bn ∈ D(ϕ)∪{0} tel que a1 b1 + · · · + an bn = 0 avec les bi non tous nuls. Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer b1 , . . , br ∈ D(ϕ) et br+1 = · · · = bn = 0 (0 < r ≤ n). Posons q = a1 b1 , . . , ar br , ar+1 , . . , an . Alors q est isotrope, et q ⊗ϕ a1 b1 ϕ ⊥ · · · ⊥ ar br ϕ ⊥ ar+1 ϕ ⊥ · · · ⊥ an ϕ a1 ϕ ⊥ · · · ⊥ ar ϕ ⊥ ar+1 ϕ ⊥ · · · ⊥ an ϕ q ⊗ ϕ.

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by Thomas
4.5

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